Ejercicios de Conjuntos

1. Demostrar que $A - B \, $ y $\,A \cap B \, $ son disjuntos.

    Demostración: [Método Directo]

    Se tiene que $A - B \, $ y $\,A \cap B \, $ son disjuntos; es decir, veamos que $A - B \, $ y $\,A \cap B \, = \, \phi$
   

    $i.$ $(A - B) \cap (A \cap B) \, \, \, \, \ldots \, Hipótesis$
    $ii.$ $(A \cap B^{c}) \cap (A \cap B )\, \, \, \, \ldots \, \,  Definición \, \,  de \, \,  diferencia \, \,  en \, \,  i.$
    $iii.$ $(A \cap A) \cap (B \cap B^{c}) \, \, \, \, Asociativa \, \,  en \, \,  ii.$
    $iv.$ $(A \cap A) \cap \phi \, \, \, \, \ldots Propiedades \, \, del \, \, complemento \, \, en \, \,  iii.$
    $v.$ $A \cap \phi \, \, \, \, \ldots Propiedades \, \, de \, \, la \, \, intersección \, \, (Idempotencia) \, \, en \, \, iv.$
    $vi.$ $A \cap \phi = \phi \, \, \, \, \ldots Propiedades \, \, de \, \, la \, \, intersección \, \, en \, \, v.$


2. Demostrar que $(A - B) - C = A - (B \cup C)$

    Demostracion: [Método Directo]

    $i.$ $x \in \left[(A - B) - C\right] \, \, \, \, \ldots Hipótesis \, \, auxiliar $
    $ii.$ $x \in (A - B) \wedge x \notin C \, \, \, \, \ldots Definición \, \, de \, \, diferencia \, \, en \, \, i.$
    $iii.$ $x \in A \wedge x\notin B \wedge x \notin C \, \, \, \, \ldots Definición \, \, de \, \, diferencia \, \, en \, \, ii.$
    $iv$ $x \in A \wedge (x \notin B \wedge x \notin C) \, \, \, \, \ldots Propiedad \, \, asociativa \, \, en \, \, iii.$
    $v.$ $x \in A \wedge x \notin (B \vee C) \, \, \, \, \ldots Propiedades \, \, de \, \, la \, \, inclusión  \, \, en \, \, iv.$
    $v.$ $x \in \left[ A - (B \cup C) \right] \, \, \, \, \ldots Definición \, \, de \, \, diferencia \, \, en \, \, v. $