Ejercicios Lógica Cuantificacional

$Ejercicio \ 5: $
Determine si las siguienetes proposiciones son tautologías, contradicciones o indeterminaciones.

    a) $(\forall_x)((P_x \to \sim P_x) \to \sim P_x)$
          Es una tautología.

    b) $(\forall_x) \left [((P_x \to Q_x) \wedge \sim Q_x) \to \sim P_x \right]$

           Es una tautología.

    c) $\sim (\forall) [((P_x \to Q_x) \wedge P_x) \to Q_x]$

        $(\exists_x) \sim [((P_x \to Q_x) \wedge P_x) \to Q_x]$

        $(\exists_x) [((P_x \to Q_x) \wedge P_x) \vee \sim Q_x]$

        Es una indeterminación.

    d) $\sim (\exists_x)(\sim(P_x \wedge \sim P_x))$

        $(\forall_x) \sim (\sim (P_x \wedge \sim P_x))$

        $(\forall_x)(P_x \wedge \sim P_x)$

        Es una indeterminación.

$Ejercicio \ 7:$

Demuestre las siguientes propiedades haciendo uso de la ejemplificación y generalización de la lógica cuantificacional.

    $a)$ $(\forall_x)(P_x \to \sim P_x) \longrightarrow (\forall_x)(\sim P_x)$

            Hipótesis: $(\forall_x)(P_x \to \sim P_x)$

            Tesis: $(\forall_x)(\sim P_x)$

            $Demostración:$

            $i.$ $(\forall_x) (P_x \to \sim P_x) \ \ \ldots \ Hipótesis.$

            $ii.$ $P_a \to \sim P_a \ \ \ldots \ (a/x) \ en \ i.$

            $iii.$ $\sim P_a \vee \sim P_a \ \ \ldots \ Definición \ de \ condicional \ en \ ii.$

            $iv.$ $\sim P_a \ \ \ldots \ Axioma \ de \ idempotencia \ en \ iii.$

            $v.$ $(\forall_x)(\sim P_x) \ \ \ldots \ Generalización \ Universal \ en \ iv.$ $\Box$

    $b)$ $Si \ (\forall_x) [(P_x \to R_x) \wedge (Q_x \to R_x)] \  entonces \ (\forall_x)((P_x \vee Q_x) \to R_x)$

            Hipótesis: $(\forall_x) [(P_x \to R_x) \wedge (Q_x \to R_x)]$

            Tesis: $(\forall_x)((P_x \vee Q_x) \to R_x)$

            $Demostración:$

            $i.$ $(\forall_x) [(P_x \to R_x) \wedge (Q_x \to R_x)] \ \ \ldots \ Hipótesis.$

            $ii.$ $(P_a \to R_a) \wedge (Q_a \to R_a) \ \ \ldots \ (a/x) \ en \ i.$

            $iii.$ $(\sim P_a \vee R_a) \wedge (\sim Q_a \vee R_a) \ \ \ldots \ Definición \ condicional \ en \ ii.$

            $iv.$ $(\sim P_a \wedge \sim Q_a) \vee R_a \ \ \ldots \ Distributiva \ en \ iii.$

            $v.$ $\sim (P_a \vee Q_a) \vee R_a \ \ \ldots \ Ley \ de \ D'Morgan \ en \ iv.$

            $vi.$ $(P_a \vee Q_a) \to R_a \ \ \ldots \ Definición \ condicional \ en \ v.$

            $vii.$ $(\forall_x) [(P_x \vee Q_x) \to R_x] \ \ \ldots \ Ejemplificación \ del \ Universal \ en \ vi.$ $\Box$