Ejercicio 8.
Por convención se asumirá $ \ \mathbb{N}=\left\{1,2,3, \ldots \right\}$. Sea $\mathcal{A}$ un conjunto con las siguientes características:
a). $\mathcal{A}=\left \{ 1, -2, 3, -5, 0 \right \}$
Signos auxiliares: $\left \{ +, \times, (, ) \right \}$
b). Toda cadena finita de signos del alfabeto cuya suma o multiplicación sea un número natural.
Resuelva:
a. Indique si las siguientes cadenas son f.b.f.
1. $ \ (-5) + 0 = -5 \ y \ -5 \notin \mathbb{N} \ no \ es \ f.b.f.$
2. $ \ 1\times 1+(-2) = 0 \ no \ es \ f.b.f.$
3. $ \ 3+3+(-2)+(-2)=2 \ es \ f.b.f \ y \ 2\in \mathbb{N}$
4. $ \ 0 \times 0 +0 = 0 \ no \ es \ una \ f.b.f.$
5. $ \ 1+1+(-5) \times (-5) = 27 \in \mathbb{N}$, es una $f.b.f.$
6. $ 0 \times (-5) + (-5) \times 0 = 0 \notin \mathbb{N}$. no es una $f.b.f.$
b. Regla de formación: Toda cadena finita de signos del alfabeto cuya suma o multiplicación sea un número natural, donde $1+3$ y $3+1$ son f.b.f diferentes.
$\mathcal{A}_1=\left \{ 1, \ 0 \right \}: \ 1+0, \ 0+1; dos \ f.b.f.$
$\mathcal{A}_2=\left \{ 1, \ 3 \right \}: \ 1+3, \ 3+1, 3\times 1 $ 3 $f.b.f.$
$\mathcal{A}_3=\left \{ -2, \ 3\right \}: \ 3+(-2), \ -2+3 \ 2 \ f.b.f.$
$\mathcal{A}_4=\left \{ -2, \ -5 \right \}: -2 \times (-5), \ -5 \times (-2) \ dos \ f.b.f.$
$\mathcal{A}_5=\left \{ 3, \ 0 \right \}: 3+0, \ 0+3 \ dos \ f.b.f.$
Las demás combinaciones no son f.b.f, pues el resultado no pertenece a los Naturales.
Ejercicio 10
Consideremos un conjunto $\mathcal{A}$ con la siguiente estructura.
a. Alfabeto : {$a, \ b, \ c$}
b. Regla de formacion: Toda cadena finita de signos del alfabeto que inician en $a \ $ y terminan en $c$
c. Reglas de Inferencia:
$i$. Todo signo del alfabeto puede ser triplicado.
$ii$. Cualquier cadena de dos signos puede ser omitida siempre y cuando la cadena resultante sea f.b.f.
$iii$. Las cadenas $aa$ , $bb$ y $cc$ pueden ser reemplazadas por $b$, $c$ y $a$ respectivamente siempre que sea una f.b.f.
$iv$. No hay otra regla.
d. Axioma: $abc$
e. Teoremas:
1. $abcbc$
2. $acac$
3. $ac$
demostracion:
1.
$i.$ $abc \ \ \ \ldots$ Axioma.
$ii.$ $a \underbrace{aa}_{*}b \underbrace{bb}_{**}c \ \ \ \ \ldots$ Regla i. en $i$
$iii.$ $abcbc \ \ \ \ldots$ Regla iii. en $ii. \ (*, \ **)$ $\Box$
2.
$i.$ $abcbc \ \ \ \ldots$ Teorema 1.
$ii.$ $a \underbrace{bb} bcb \underbrace{cc} c \ \ \ \ldots$ Regla i. en $i.$
$iii.$ $acb \underbrace{c} bac \ \ \ \ldots $ Regla iii. en $ii.$
$iv.$ $ac \underbrace{ba} \underbrace{cb}ac \ \ \ \ldots$ Regla i. en $iii.$
$v.$ $acac \ \ \ \ldots$ Regla ii. en $iv.$ $\Box$
3.
$i.$ $a\underbrace{ca}c \ \ \ \ldots$ Teorema 2.
$ii.$ $ac \ \ \ \ldots$ Regla ii. en $i.$ $\Box$
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