Estrategias de Demostración

No todas las matemáticas involucran pruebas. Aprendemos una pequeña parte de ellas en la escuela y antes de aprender como se prueban aprendemos inconcientemete que las reglas de la aritmetica son verdaderas.

Pero que es lo que entendemos por Demostración? Segun "WordReference" la palabra demostrar es probar o manifestar algo mediante argumentos teóricos o mediante pruebas empiricas.
Como en las novelas policiales, vemos como muchos de los detectives tratan de llevar a cabo una investigacion, obteniendo evidencias de cada pista que se le presente. En las matemáticas es algo igual, a medida que avanzamos en teoria vamos acumulando "evidencias" o pistas -por decirlo de algun modo- que mas adelante podemos utilizar.

Todas estas "evidencias", son teorías o resultados que se van adquiriendo a lo largo del curso de logica o cursos avanzados de matemáticas.

Existen diferentes estrategias de demostración, demostración por método directo, contraejemplo, contrarrecíproco, método indirecto, método de casos e inducción matemática. En este blogg resaltaré solo dos: contrarrecíproco y método de casos.


Método de Casos:

El metodo de casos se utiliza para mostrar proposiciones directas de la forma $(P\vee Q) \rightarrow R $. Donde $P$ y $Q$ son hipotesis diyuntas utilizadas de forma separada.

Un squema de demostracion seria de la forma:

$i.$ $(P \vee Q) \rightarrow R \, \, \, \, \, \, \, \, \ldots Hipótesis.$
$ii.$ $\sim(P \vee Q) \vee R \, \, \, \, \, \, \, \, \ldots Definición \, \,  de \, \, codicional \,  \, en \, \, i.$
$iii.$ $(\sim P \wedge \sim Q) \vee R \, \, \, \, \, \, \, \,  \ldots Ley \, \, de \, \, D'Morgan \, \, en \, \, ii.$
$iv.$ $(\sim P \vee R) \wedge (\sim Q \vee R) \, \, \, \, \, \, \, \, \ldots Ley \, \, distributiva \, \, en \, \, iii.$
$v.$ $(P \rightarrow R) \wedge (Q \rightarrow R) \, \, \, \, \, \, \, \, \ldots Definición \, \, de \, \, condicional \, \, en \, \, iv.$

Deacuerdo al esquema de demostración, se debe mostrar la forma directa de $P$ para llegar a $R$ y analogamente la forma de $Q$ para llegar a demostrar $R$; ambas hipótesis, tanto $P$ como $Q$ deben de llegar al mismo punto, osea $R$.

En el siguiente video, se muestra un ejercicio del Método de Casos:

Ejercicicio propuesto al estudiante:

1. Sean $n$ y $m$ dos números enteros, los cuales pueden ser pares o impares.
        a. Qué condiciones deben cumplir $m$ y $n$ para que $(n+m)^2 \, $ sea par?
        b. Demuestre las condiciones enunciadas en el punto anterior.


Método del Contrarrecíproco:

Ejercicio propuesto al estudiante:

1. Si $\, 3 \nmid (n^3 + m^3) \, $ entonces $ \, 3 \nmid (n + m) \,$ donde $\, m \, $ y $ \, n \, $ son enteros.