Qué es una demostración?

Una demostración es un hecho mendiante el cual se deriva de argumentos válidos, para llegar a la deducción de algo en común, basandose en hechos, experiencias propias o en algunas propiedades. Es así como uno de los científicos más importantes, el físico inglés tuvo que demostrar y mostrar con argumentos el descrubrimiento de que la luz es una honda electromagnetica; pero ante todo, el se basó en otras hipótesis válidas anteriormente presentadas por otros cientificos para poder demostrar este hecho.
Pero no solo exiten estas clases de demostraciones. A partir de un gran núumero de objetos y observaciones, las ciencias han podido definir un método; es decir, ir de lo más general a lo más particular; esto lo llamamos {\it inducción matemática}. \\ Un ejemplo de inducción matemática, a cuanto equivale la suma de los cien primero números naturales, lo que sería de la forma: $1+2+3+\ldots +99+100 \, \,$ lo que nos lleva a que si sumamos $100+1$ y $99+2 \, \, $ y asi sucesivamente se da que el número $101$ se repite cincuenta veces. Es por esto que $1+2+3+\ldots +99+100 = 50\cdot 101$. De una manera mas general, se escribiria asi: $$1+2+3\cdot+(n-2)+(n-1)+n = \frac{n}{2}\cdot(n+1)$$
También, en la lógica y geometría la mayoria de los resultados se obtuvieron por el método inductivo, partiendo de un gran número de experimentos.
La lógica en particular, se basa y se contruye en base a argumentos lógicos lo suficientemente fuertes para apoyar la veracidad de ellos.
Así es como mediante las demostraciones se deben basar en argumentos válidos y deducciones sistemáticas y por tanto no dejar nada a la obviedad; pues lo que puede ser obvio para una persona puede resultar completamente confuso para la otra, dado que es una ciencia exacta y debe de omitirse lo obvio.

Un estudiante puede leer el teorema y pensar acerca de su demostración y preguntarse: Es necesario hacer la demostración? En este caso no es necesario hacer la demostración, pero lo que sí enuncia un teorema es de un caso en general. La figura sirve para apoyar la demostración de un caso particular para una infinidad de figuras para las cuales se esta demostrando un teorema.
La imágen no es tan obvia y ya no es tan particular. Es asi como discutimos el peligro de los casos particulares, la figura solo ayuda para la demostración de un teorema (para demostrar su generalidad).

    Como debe contruirse una demostración

Las demostraciones se deben basar en una buena utilización de los axiomas, definiciones y teoremas en los cuales se apoya la teoría. Una buena demostración consiste en el buen uso de las bases axiomáticas y en teoremas demostrados para ser utilizados en deducciones posteriores. Otra de las claves fuertes para una demostración es saber que ellas no se basan en un algoritmo o en una secuencia de pasos lógicos. También, la imaginación del estudiante depende mucho a la hora de demostrar, pues primordial saber y tener una buena perspectiva acerca de como afrontar el problema y en base a cuales axiomas, teoremas o corolarios utilizar para concluir una tesis.


Uno de los errores principales de los estudiantes, en cuanto a las demostraciones es que no saben diferenciar entre un teorema directo y su recíproco. Un ejemplo de teorema directo seria: ``En todo cuadrilatero en el cual pueda inscribirse un circulo, la suma de los lados opuestos son iguales''. Pero sin notarlo mediante una demostración el estudiante puede estar haciendo uso de su recíproco de la siguiente manera: ``Puede inscribirse un circulo en todo cuadrilatero en el cual la suma de los lados opuestos sean iguales''.
Es común ver estudiantes cometiendo este tipo de errores durante las demostraciones usando teoremas directos cuando debía usarse su recíproco. 
Podemos entender que un teorema directo es de la forma $\, P \rightarrow Q$ y su recíproco sería de la forma $\, Q \rightarrow P$.
A manera de proposición: ``Si un triángulo es equilatero entonces es isósceles'' ($\, P \rightarrow Q$), es una proposición verdadera, mientras que su recíproco sería de la forma: ``Si un triángulo es isósceles entonces es equilatero'' ($\, Q \rightarrow P$), lo cual no aplica, pues la proposición es falsa.

Cabe señalar que las proposiociones anteriormente vistas, son de la forma $P \rightarrow Q$, la primera parte $P$ es llamada condición o hipótesis del teorema y $Q$ sería su conclusión o tesis.

A la hora de hacer una demostración matemática, debemos basarnos en un sistema formal de la lógica proposicional, asi como en las definiciones y en un mecanismo deductivo como son los axiomas. La lógica proposicional forma una base fuerte para un mecanismo deductivo, el cual es aplicado también a la geometría y al cálculo avanzado.

Dentro de un sistema formal, podemos encontrar axiomas y tautologías. En los axiomas de la lógica proposicional puede verse el axioma de idempotencia, de conmutatividad y adición a la implicación; lo cual la geometria también se apoya en estos axiomas. Puede encontrarse también las tautologías, las cuales todas sus posibilidades lógicas son verdaderas y pueden ser usadas en cualquier parte de una demostración. Los teoremas pueden ser también usados en alguna parte de la demostración siempre y cuando haya sido demostrado previamente, de lo contrario al usar un teorema que no se ha demostrado, puede conducir a un error durante la demostración.

En una demostración es muy importante la argumentación en hechos reales y verdaderos. En el caso de las matemáticas, es basarse es reglas para su correcta construcción y elaboración de un sistemas estructurado y formado partiendo del razonamiento deductivo de la lógica elemental. Es asi como, partiendo de un buen uso del sistema de axiomas y la utilización de teoremas previamente demostrados nos lleva a la deducción, conclusión o tesis de un teorema dentro de un sistema bien formado.